 \chapter{贝塞尔椭球体方程的推导（1841）}
\author{Friedrich Wilhelm Bessel}
\date{1841年}

	\begin{abstract}
		本文基于欧洲大陆和英国印度勘测网的子午弧测量数据，结合38组天文测量学确定的经纬度坐标，推导出适用于欧亚大陆的参考椭球体参数方程。通过建立对数计算模型，确定了最优椭球半轴长和扁率值，为大地测量学提供高精度参考基准‌:ml-citation{ref="1" data="citationList"}。
	\end{abstract}
	
	\section{数学模型推导}
	\subsection{椭球标准方程}
	椭球面空间几何由标准方程定义：
	\begin{equation}
		\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1
	\end{equation}
	其中$a,b,c$分别为$x,y,z$轴向半轴长‌:ml-citation{ref="2" data="citationList"}。
	
	\subsection{参数方程变换}
	引入球坐标参数化：
	\begin{align*}
		x &= a \sin\theta \cos\varphi \\
		y &= b \sin\theta \sin\varphi \\
		z &= c \cos\theta
	\end{align*}
	参数范围$\theta \in [0,\pi]$, $\varphi \in [0,2\pi)$，$\theta$为极角（与$z$轴夹角），$\varphi$为方位角（绕$z$轴旋转角）‌:ml-citation{ref="3" data="citationList"}。
	
	\section{参数确定方法}
	\subsection{数据来源}
	基于10条子午弧实测数据和38组天文测量学确定的经纬度坐标，通过最小二乘平差优化参数‌:ml-citation{ref="1" data="citationList"}。
	
	\subsection{对数演算模型}
	采用对数计算方法建立参数方程组：
	$$
	\begin{cases}
		\log a = k_1 \\
		f = \dfrac{a-b}{a} = k_2 
	\end{cases}
	$$
	其中$k_1,k_2$由子午弧曲率拟合确定‌:ml-citation{ref="1" data="citationList"}。
	
	\section{结果参数}
	最终获得1841年椭球参数：
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{贝塞尔椭球体参数}
		\begin{tabular}{ccc}
			\hline
			参数 & 数值 & 单位 \\
			\hline
			长半轴$a$ & 6,377,397.155 & m \\
			扁率$f$ & 1/299.1528153513233 &  \\
			短半轴$b$ & 6,356,078.963 & m \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{与现代椭球对比}
	与WGS84椭球参数对比显示（单位：m）：
	\begin{align*}
		\text{贝塞尔1841} &: 
		\begin{cases} 
			a = 6,377,397.155 \\
			b = 6,356,078.963 
		\end{cases} \\
		\text{WGS84} &: 
		\begin{cases} 
			a = 6,378,137.0 \\
			b = 6,356,752.0 
		\end{cases}
	\end{align*}
	贝塞尔椭球长半轴较WGS84短约700米，但更符合欧亚大陆大地水准面曲率‌$^1$。
	